Ежелгі өркениеттер аумақты қалай өлшеген?

Математика абстрактілі қызығушылықтан емес, өмірлік қажеттіліктен пайда болды — жерді бөлу, салық жинау және құрылыстар салу қажеттілігінен. Ерте өркениеттер кездескен математикалық міндеттердің ішінде аумақты өлшеу ерекше маңызды болды — одан ауыл шаруашылығы жерлерін әділ бөлу және өнімді есептеу тәуелді болды. Қазіргі құралдарсыз бұл міндетті шешу оңай болған жоқ, алайда ежелгі халықтар тек арқан, қазық және адамның ақыл-ойына сүйене отырып, таңғаларлық дәрежеде күрделі әдістер ойлап тапты. Аумақты өлшеу тарихы — бұл бір мезгілде геометрияның, салық салудың және мемлекеттік басқарудың тарихы, олар мыңдаған жылдар бойы өзара тығыз байланыста дамыды. Бұл әдістерді зерттеу көбінесе қазіргі адамдар жеткілікті бағаламайтын өркениеттердің интеллектуалдық жетістіктерінің таңғаларлық көрінісін ашады.

Аумақ өлшем бірліктері — денеден еңбекке дейін

Нақты есептеу әдістеріне көшпес бұрын, ежелгі халықтар аумақты қандай бірліктермен өлшегенін түсіну маңызды. Бұл жүйелердің негізінде жатқан қағидалар қазіргі стандартталған метрлік өлшемдерден түбегейлі ерекшеленді.

Ежелгі аумақ бірліктерінің көпшілігі антропологиялық немесе шаруашылық негізге ие болды. Адам денесі, жұмыс малы және еңбек шығыны стандарттау мүмкін болмайтын әлемде табиғи эталон ретінде қызмет етті.

Аумақ өлшемдерінің қалыптасуындағы негізгі қағидалар мыналарға негізделді:

• дене бөліктеріне негізделген бірліктер — шынтақ, табан, қадам — жер телімінің қабырғаларын өлшеу үшін қолданылды, ал аумақ олардың көбейтіндісі арқылы анықталды;
• еңбек бірліктері — бір адам немесе бір жұп өгіз бір күн ішінде жырта алатын жер аумағы — Мысырда, Римде және орта ғасырлық Еуропада қолданылды;
• өнімге негізделген бірліктер — белгілі бір мөлшердегі тұқым себілетін жер — Месопотамия мен Үндістанда кең таралған;
• арқан ұзындығына байланысты бірліктер — мысалы, мысырлық «арур» немесе вавилондық «ику» — жер өлшеушілер қолданған нақты құралдарды бейнеледі.

Бұл жүйелердің әрқайсысы белгілі бір қоғамның шаруашылық құрылымына табиғи түрде сәйкес келді және сол қоғам үшін ең маңызды практикалық құндылықтарды көрсетті. Сондықтан әртүрлі өркениеттердегі аумақ өлшем бірліктері бір-бірінен айтарлықтай ерекшеленеді — олар ұқсас міндетті шешкенімен, күнделікті өмірдің мүлде әртүрлі жағдайларына сүйенді.

Мысыр — Ніл тасқындарынан туған геометрия

Мысырдағы аумақ өлшеу жүйесі өткір практикалық қажеттіліктен туындады. Ніл өзенінің жыл сайынғы тасқындары егістік жерлердің шекараларын шайып кететін, сондықтан су қайтқаннан кейін жер өлшеушілер — «харпедонаттар», яғни «арқан тартушылар» — жер телімдерінің шекараларын мүмкіндігінше дәл қалпына келтіруге тиіс болды.

Ежелгі Мысырдағы негізгі аумақ бірлігі «арур» болды — қабырғасы 100 шынтаққа тең шаршы, бұл шамамен 2 735 шаршы метрді құрады. Кішігірім учаскелер үшін арурдың бөлшектері — жартысы, төрттен бірі және басқа үлестері қолданылды. Салық салу дәл осы өлшемдерге негізделді, бұл жер өлшеудің дәлдігіне тікелей фискалдық маңыз берді.

Мысырлық математикалық папирустарда сақталған аумақ есептеу әдістері сол заман ғылымының әрі жетістіктерін, әрі шектеулерін көрсетеді.

1. Тік төртбұрыштың ауданы мысырлықтарда толық дұрыс есептелді — ұзындығын еніне көбейту арқылы. Бұл әдіс Ніл атырауындағы тікбұрышты егістік жерлерді өлшеу үшін қолданылды. Біздің заманымызға дейінгі шамамен 1650 жылға жататын Ринд папирусында нақты сандық мысалдармен осындай есептердің көптеген үлгілері келтірілген.
2. Үшбұрыштың ауданы негізі мен биіктігінің көбейтіндісінің жартысы ретінде есептелді — бұл қазіргі формуламен толық сәйкес келеді. Бұл жетістік ерекше маңызды, өйткені Ніл жағалауларындағы қисық сызықты жерлерден үшбұрышты учаскелер жиі пайда болатын. Әдістің дұрыстығы сол Ринд папирусындағы есептермен дәлелденеді.
3. Шеңбердің ауданы мысырлықтарда диаметрінің сегізден тоғыз бөлігінің квадраты ретінде анықталды — бұл «пи» саны үшін шамамен 3,16 мәнін береді. Қателік нақты мәнмен салыстырғанда бір пайыздан аз болды — алгебраны білмеген өркениет үшін таңғаларлық дәлдік. Бұл формула дөңгелек астық қоймалары мен рәсімдік алаңдардың аумағын есептеу үшін қолданылды.
4. Дұрыс емес төртбұрыштың ауданы қарама-қарсы қабырғалардың жарты қосындыларының көбейтіндісі ретінде есептелді — бұл әдіс тек тік төртбұрышқа ұқсас фигуралар үшін дәл нәтиже береді. Бұл формуланы жүйелі түрде қолдану қателіктерге әкеліп, жерді бөлу кезінде даулар туғызуы мүмкін еді. Соған қарамастан салық салу мақсаттары үшін мұндай дәлдік жеткілікті деп саналды.

Мысырлық жүйе толық жетілмегеніне қарамастан, геометрияның қолданбалы ғылым ретінде дамуына негіз қалады. Әрбір Ніл тасқынынан кейін нақты жер өлшеу міндеттерін шешу қажеттілігі Мысырды ежелгі әлемдегі математикалық білімнің негізгі орталықтарының біріне айналдырды.

Месопотамия — сына жазу қызметіндегі геометрия

Вавилондық математика ғылым тарихшыларын таңғалдыруын тоқтатпайды — Қосөзен тұрғындары геометриялық заңдылықтарды терең түсінуді талап ететін есептерді шешкен. Мыңдаған математикалық мазмұндағы саз тақтайшалар олардың әдістерін жоғары дәлдікпен қалпына келтіруге мүмкіндік береді.

Вавилонда негізгі аумақ бірлігі «ику» болды — қабырғасы 60 «нинданнан» тұратын шаршы, бұл шамамен 3 600 шаршы метрге тең. Олардың санау жүйесі алпыстық болды — яғни 60 санына негізделген — бұл бөлшектермен жұмыс істеуді айтарлықтай жеңілдетіп, жер өлшеушілерге ыңғайлы математикалық құрал берді.

Вавилондық аумақ есептеу әдістерінің бірнеше тән ерекшелігі болды:

• тік төртбұрыш пен үшбұрыштың ауданы дұрыс есептелді, бұл жүздеген сақталған есептер мен жауаптар арқылы дәлелденеді;
• трапецияның ауданы негіздердің жарты қосындысын биіктікке көбейту арқылы есептелді — бұл қазіргі формуламен толық сәйкес келеді;
• шеңбердің ауданы жуық түрде периметр арқылы есептелді — периметрдің квадраты он екіге бөлінді, бұл «пи» шамамен үшке тең дегенді білдіреді;
• дұрыс емес фигуралар қарапайым бөліктерге — үшбұрыштар мен трапецияларға — бөлініп, олардың аудандары қосылды.

Вавилон математикасының ерекше жетістігі — кері есептерді шешу қабілеті болды, яғни берілген аудан бойынша жер телімінің өлшемдерін анықтау. Бұл квадрат теңдеулерді түсінуді талап етті, және мұндай есептерді шешу алгоритмдері вавилондықтарда өте жүйелі түрде дамыды. Әдістердің жүйелілігі мен шешілген есептердің алуан түрлілігі Месопотамияда ежелгі әлемдегі ең дамыған қолданбалы геометрия қалыптасқанын көрсетеді.

Ежелгі Греция — практикадан теорияға

Гректердің аумақ өлшеу тарихындағы үлесі мысырлықтар мен вавилондықтардан түбегейлі ерекшеленеді — олар алғаш рет тек есептеп қана қоймай, өз әдістерінің дұрыстығын дәлелдеуге тырысты. Дәл осы рецептуралық математикадан дәлелді геометрияға көшу ғылым тарихындағы шынайы төңкеріс болды.

Грек жер өлшеушілерінің негізгі құралы — бірдей аралықта түйіндері бар арқан болды. Ол арқылы қашықтықтарды өлшеуге, тік бұрыштар салуға және дұрыс геометриялық фигураларды белгілеуге мүмкіндік болды. Қабырғалары 3-4-5 болатын атақты «арқан үшбұрышы» тік бұрыштарды салу үшін кеңінен қолданылды.

Аумақ өлшеу саласындағы грек геометриясының негізгі жетістіктері бірнеше ұлы ойшылдардың есімімен байланысты:

1. Хиос Гиппократы б.з.д. V ғасырда алғаш рет екі шеңбер доғасымен шектелген фигура — лунуланың ауданы белгілі бір үшбұрыштың ауданына тең екенін дәлелдеді. Бұл қисық сызықты фигураларға қатысты тарихтағы алғашқы қатаң математикалық нәтиже болды. Бұл жаңалық қисық шекаралы фигуралардың аудандарын түзу сызықты фигуралар арқылы өрнектеуге болатынын көрсетті.
2. Евклид б.з.д. шамамен 300 жылы жазылған «Негіздер» еңбегінде аумақты есептеу әдістерін жүйелеп, оларды аз ғана аксиомалар негізінде дәлелдеді. Оның үшбұрыш ауданы негізі мен биіктігінің көбейтіндісінің жартысына тең екендігін дәлелдеуі логикалық қатаңдықтың үлгісі болып саналады. «Негіздер» екі мың жыл бойы геометрияның негізгі оқулығы болды.
3. Архимед б.з.д. III ғасырда шеңбер мен параболалық сегменттің ауданын есептеу үшін сарқылу әдісін жасады. Ол шеңберге қабырғаларының саны арта беретін дұрыс көпбұрыштарды іштей сыза отырып, «пи» санын 3 10/71 мен 3 1/7 аралығында анықтады — бұл сол кездегі кез келген практикалық қажеттіліктен әлдеқайда жоғары дәлдік еді. Бұл әдіс кейін тек он сегіз ғасыр өткен соң пайда болған интегралдық есептеудің негізін алдын ала көрсетті.

Гректердің тәсілі геометрияның мәртебесін түбегейлі өзгертті — оны практикалық ережелер жиынтығынан дәлелдерге негізделген дедуктивті ғылымға айналдырды. Бұл мұра соншалықты ықпалды болды, Еуропадағы математика XVII ғасырға дейін дәл осы дәстүр аясында дамыды.

Ежелгі Рим — инженерлік дәлдік

Римдіктер грек геометриясын мұраға алып, оны өз өркениетіне тән практикалық ауқыммен қолданды. Кең аумаққа таралған империя жүйелі жер бөлуді талап етті, және Рим бұл үшін арнайы мамандық қалыптастырды.

Кәсіби жер өлшеушілер — «громатиктер» немесе «агрименсорлар» — мемлекеттік қызметкерлер болды және олардың қызметі арнайы заңдармен реттелді. Олардың құралдары — гнома, хоробат және «грума» деп аталатын бұрыш өлшейтін аспап — жер телімдерін жоғары дәлдікпен тікбұрышты түрде бөлуге мүмкіндік берді.

Римдік жер бөлу жүйесі бірнеше қағидаға негізделді:

• барлық жаулап алынған аумақ қабырғалары 710 метр болатын «центурия» деп аталатын тікбұрышты блоктарға бөлінді, бұл шамамен 50 гектар аумақты құрады;
• әрбір центурия 100 тең бөлікке — «югерлерге» — бөлінді, олардың әрқайсысының ауданы шамамен 0,25 гектар болды;
• жер шекаралары заңмен қорғалатын тас белгілермен — «терминдермен» — белгіленді;
• жер өлшеу нәтижелері мемлекеттік мұрағаттарда сақталатын кадастрлық кестелерге енгізілді.

Римдік жер кадастры жүйесі XIX ғасырға дейін Еуропа елдері үшін үлгі болды. «Центуриация» деп аталатын тікбұрышты жер бөлудің іздері бүгінгі күні де Италия, Франция және Испания аумағындағы әуе суреттерінен байқалады. Бұл ежелгі жер өлшеушілер әдістерінің жер бетінде қалдырған нақты ізі болып табылады.

Үндістан мен Қытай — параллель даму жолдары

Батыс геометриясымен қатар Үндістан мен Қытайда да аумақ өлшеудің өзіндік жүйелері дамыды. Бұл дәстүрлер ұзақ уақыт бойы бір-бірінен тәуелсіз қалыптасып, ерекше нәтижелерге жетті.

Үнді математикасы б.з.д. VIII–VII ғасырларға жататын «Сульба-сутралар» мәтіндерінде сақталған. Бұл еңбектер ведалық құрбандық орындарын салуға арналған, ал олардың өлшемдерінің дәлдігі діни тұрғыдан маңызды болды.

Үнді жетістіктері:

• тік төртбұрышты тең ауданды шаршыға айналдыру әдісі, бұл Пифагор теоремасын түсінуді талап етеді;
• трапеция ауданының қазіргі формуламен сәйкес келетін әдісі;
• «пи» санының шамамен 3,088 мәні;
• күрделі фигураларды қарапайым бөліктерге бөлу арқылы есептеу әдісі.

Қытайда біздің заманымыздың I ғасырындағы «Тоғыз кітаптағы математика» еңбегінде жер өлшеуге арналған үлкен бөлім бар. Қытай математиктері үшбұрыш, трапеция және дұрыс емес төртбұрыштардың аудандарын есептей алды, сондай-ақ кері есептерді — берілген аудан бойынша қабырғаларды анықтауды — шешті. Ең қызығы, олар гректер мен вавилондықтардан тәуелсіз түрде дәл сол формулаларға келді, бұл математикалық заңдылықтардың әмбебап екенін көрсетеді.

Аумақты өлшеу тарихы математиканың абстрактілі ойдан емес, нақты өмірлік қажеттіліктерден туындағанын айқын көрсетеді — жерді бөлу, құрылыстар салу және салық жинау қажеттілігінен. Египетте, Вавилонда, Үндістанда және Қытайда ұқсас әдістердің тәуелсіз пайда болуы математикалық ақиқаттардың ойлап табылмайтынын, қайта ашылатынын дәлелдейді — белгілі бір даму деңгейіне жеткен кез келген өркениет ерте ме, кеш пе бірдей қорытындыларға келеді. Ежелгі жер өлшеушілердің мұрасы бүгінгі күні де өмір сүруде — геометрия оқулықтарында ғана емес, бізді қоршаған кеңістіктің өзінде: көшелердің тікбұрышты торларында, егістік алқаптардың шаршы пішіндерінде және мыңдаған жыл бұрын қалыптасқан кадастрлық жүйелерде.